\EXERCICE{%
\exercice{Pile au nickel}

Soit la pile suivante: 
\displayChem{Ni  {|}  Ni^{2+},    2\,NO3-  {||}  Ag+,   NO3-  {|}  Ag}
Les solutions sont à concentration \numprint{0.5}~\M.
\begin{donnees}
\item $\Ezero{Ni^{2+}  \, {/} \,  Ni} = \numprint{-0.23}$~V
\item $\Ezero{Ag+  \, {/} \,  Ag} = \numprint{0.80}$~V
\end{donnees}
\begin{questions}
\item Calculer le potentiel de chaque demi-pile ainsi que la f.e.m.
\item Quel est le sens du courant? Celui des électrons? 
\item Sous quelle forme passe le courant à l'intérieur de l'électrolyte?
\item Chaque compartiment de la pile contient un volume de solution de
        100~cm$^3$. La pile débite dans un circuit extérieur un
        courant d'intensité \numprint{0.1}~A pendant 60~minutes. On suppose qu'aucune
        électrode n'est totalement consommée. Quelle sera au bout de ce temps
        la valeur du potentiel de chaque électrode? Quelle sera la f.e.m
        de la pile?
\item Question bonus: Quelle sera la perte de masse de chaque électrode
        au bout des 60~minutes? 
        \begin{donnees}[On donne]
          \item $\ce{M_{Ni}} = \numprint{58.7}$~g\,mol$^{-1}$;
          \item $\ce{M_{Ag}} = 108$~g\,mol$^{-1}$.
        \end{donnees}
\end{questions}
}

\SOLUTION{%
\soluce{Pile au nickel}
\reponse{Potentiel des demi-piles et f.e.m.}
Les couples en jeu sont \ce{Ni^{2+}  \, {/} \,  Ni} et
\ce{Ag+  \, {/} \,  Ag}. Les potentiels sont donc:
\[
\begin{split}
&\left\{
\begin{array}{l}
\E{Ni^{2+}  \, {/} \,  Ni}  = \Ezero{Ni^{2+}  \, {/} \,  Ni} + \frac{\Rgp T}{2\F}\ln\left(\frac{\ac{Ni^{2+}}}{\ac{Ni}}\right)\\
\E{Ag+  \, {/} \,  Ag}      = \Ezero{Ag+  \, {/} \,  Ag}     + \frac{\Rgp T}{\F} \ln\left(\frac{\ac{Ag+}}{\ac{Ag}}\right)
\end{array}\right.
\\\\
&\left\{\begin{array}{l}
\E{Ni^{2+}  \, {/} \,  Ni}  = \Ezero{Ni^{2+}  \, {/} \,  Ni} + \numprint{0.03}\log_{10}\left(\conc{Ni^{2+}}\right)\\
\E{Ag+ \, {/} \, Ag}      = \Ezero{Ag+ \, {/} \, Ag}     + \numprint{0.06}\log_{10}\left(\conc{Ag+}\right)\\
\end{array}\right.
\\\\
&\left\{\begin{array}{l}
\E{Ni^{2+} \, {/} \, Ni}  = \numprint{-0.23}     + \numprint{0.03}\cdot\numprint{-3.01}\,10^{-1} = \numprint{-0.24}~\text{V}\\
\E{Ag+ \, {/} \, Ag}      = \numprint{0.80}      + \numprint{0.06}\cdot\numprint{-3.01}\,10^{-1} = \numprint{0.78}~\text{V}
\end{array}\right.
\\\\
&\Rightarrow \text{f.e.m} = \E{Ag+ \, {/} \, Ag} - \E{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} = \numprint{1.02}~\text{V}
\end{split}
\]

\reponse{Sens du courant et électrons}
Les électrons sont des charges négatives en mouvement, ils se déplacent
donc des potentiels les plus faibles vers les plus élevés. Donc du
nickel vers l'argent.
Par convention, le courant va dans le sens opposé des électrons, donc
de l'argent vers le nickel.

\reponse{Charges en mouvement}
Les charges en présence sont les ions non concernés par les réactions
rédox en jeu. Ainsi les ions \ce{NO3-} et un cation, par exemple \ce{K+}.

\reponse{F.e.m. au bout d'un temps de fonctionnement}
Débiter \numprint{0.1}~A pendant 60~min donne une charge
débitée de 360~C.
On en déduit un nombre d'électrons de:
\[
e n_e = q
\]
Avec $e$ la charge d'un électron, $n_e$ le nombre d'électrons,
$q$ la charge en Coulomb et $\mathcal{N}_{\!A}$ le nombre
d'Avogadro, donc
\[
n_e = \frac{q}{e\,\mathcal{N}_{\!A}}
    = \numprint{3.73}\,10^{-3}~\text{mol}
\]

Ainsi il a été consommé un nombre de charges de $\numprint{3.73}\,10^{-3}$~mol,
donc un nombre de mole de $\numprint{1.865}\,10^{-3}$ de nickel et de
$\numprint{3.73}\,10^{-3}$~mol d'argent. La réaction est
\displayChem{Ni + 2 Ag+ -> 2 Ag + Ni^{2+}}
Donc il y a disparition de $\numprint{1.865}\,10^{-3}$~mol de \ce{Ni}
et apparition d'autant de quantité de \ce{Ni^{2+}}, ainsi que
disparition de $\numprint{3.73}\,10^{-3}$~mole de \ce{Ag+} et
apparition de la même quantité de métal \ce{Ag}.

Ainsi la concentration en \ce{Ni^{2+}} est de:
\[
\conc{Ni^{2+}} = \conc{Ni^{2+}}_0 + \frac{n_\ce{Ni^{2+}}}{V}
               = \numprint{0.5} + \frac{\numprint{1.865}\,10^{-3}}{100\,10^{-3}}
               = \numprint{0.51865}~\text{\M}
\]
La concentration en \ce{Ag+} est de:
\[
\conc{Ag+} = \conc{Ag+}_0 - \frac{n_\ce{Ag+}}{V}
           = \numprint{0.5} - \frac{\numprint{3.73}\,10^{-3}}{100\,10^{-3}}
           = \numprint{0.4627}~\text{\M}
\]
On en déduit les potentiels et la f.e.m.:
\[
\begin{split}
\E{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} & = \Ezero{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} + \frac{\Rgp T}{2\F}\ln\left(\frac{\ac{Ni^{2+}}}{\ac{Ni}}\right)\\
\E{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} & = \Ezero{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} + \frac{\Rgp T}{2\F}\ln\left(\conc{Ni^{2+}}\right) \\
\E{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} & = \numprint{-0.24}~\text{V} \\\\
\E{Ag+ \, {/} \, Ag}     & = \Ezero{Ag+ \, {/} \, Ag} + \frac{\Rgp T}{\F}\ln\left(\frac{\ac{Ag+}}{\ac{Ag}}\right)\\
\E{Ag+ \, {/} \, Ag}     & = \Ezero{Ag+ \, {/} \, Ag} + \frac{\Rgp T}{\F}\ln\left(\conc{Ag+}\right) \\
\E{Ag+ \, {/} \, Ag}     & = \numprint{0.78}~\text{V} \\\\
\Rightarrow \text{f.e.m} & = \E{Ag+ \, {/} \, Ag} - \E{Ni^{2+} \, {/} \, Ni} = \numprint{1.02}~\text{V}
\end{split}
\]

\reponse{Question bonus}
Les masses sont:
\[
m_\ce{Ni} = n_\ce{Ni}\cdot\Mm{Ni} 
          = \numprint{1.865}\,10^{-3} \cdot \numprint{58.7}
          = \numprint{0.11}~\text{g}
\]
\[
m_\ce{Ag} = n_\ce{Ag}\cdot\Mm{Ag} 
          = \numprint{3.73}\,10^{-3} \cdot \numprint{108}
          = \numprint{0.40}~\text{g}
\]
}
